第148章 三角形
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【神谕纪元·二七〇〇年（春）】
大夏王都，春雨绵绵。
细密的雨丝如同天地间垂下的珠帘，笼罩着这座拥有数千年历史的庞大都城。
经过数百年的扩建与修缮，王都早已不是当年的模样。
青砖铺就的朱雀大街宽阔平整，两侧的排水渠设计精妙，即便是在这连绵的春雨中，路面也鲜有积水。
而在城市的东侧，那片占地极广、古木参天的建筑群，便是大夏文明的心脏大夏学宫总院。
这里没有市井的喧嚣，只有悠扬的钟声和朗朗的读书声。
【大夏学宫·数学院（原算学科）】
在一间堆满了算筹、图纸和木质模型的静室内，一位须发花白的老者正跪坐在案几前，眉头紧锁，仿佛遇到了一生中最大的难题。
他叫许广，大夏学宫数学院的首席博士。
在他面前的案几上，摆放着一张巨大的宣纸，上面画满了各种各样的三角形、方块和圆圈。
墨迹未干，显然他已经在这里推演了很久。
“不对……还是不对。”
许广喃喃自语，手中的毛笔悬在半空，迟迟无法落下，“勾三股四弦五，这是老祖宗传下来的规矩。可是……如果勾是五，股是七呢？弦又该是多少？”
这是困扰了大夏工匠千年的问题。
自古以来，大夏的工匠在建造房屋、丈量土地时，都知道一个经验法则。
如果把直角三角形的两条直角边分别做成三尺和四尺，那么斜边一定是五尺。
但这只是一个特例。
最近，工部那边遇到了大麻烦。
夏王下令在西部的山区开凿一条新的隧道，需要精确计算山体的斜度与长度。
工匠们发现，当直角边的长度变化时，他们根本无法算出斜边的确切数值，只能靠拉绳子硬量。
误差极大。
“数之法，当通于万物，岂能只有特例？”
许广扔下毛笔，有些烦躁地站起身。
他走到窗边，推开窗棂，任由湿润的凉风吹在脸上。
窗外，是数学院的回廊。
地面上铺着整齐的方形青砖，雨水打在砖面上，泛起一层水光。
许广的目光无意识地落在那地面的方砖上。
那些青砖是交错铺设的，每一块都是标准的正方形。
而在回廊的转角处，为了美观，工匠将青砖斜着切开，拼成了一个个三角形的图案。
忽然。
一道闪电划破长空，也仿佛劈开了许广脑海中的迷雾。
他的目光死死地盯着地面上一块被斜切的青砖。
“方砖……斜切……”
“如果以斜边为边长，画一个正方形……”
许广猛地转身，像个疯子一样冲回案几旁。
他一把扫开桌上凌乱的算筹，铺开一张崭新的白纸。
他没有画三角形，而是先画了一个方格网。
“假设……每一个方格代表一尺。”
他在纸上画了一个直角三角形，勾长为3格，股长为4格。
然后，他分别以这三条边为边长，向外画出了三个正方形。
勾上的正方形，面积是3乘3，九个格子。
股上的正方形，面积是4乘4，十六个格子。
“九加十六……二十五。”
许广的手有些颤抖。
他看向那个以斜边为边长的倾斜正方形。
因为是斜着的，很难直接数格子。
“割补！移形换位！”
许广拿起剪刀，将纸上的图形剪了下来。
他利用出入相补的原理，将那个倾斜的大正方形拆分成几个小三角形和矩形，然后重新拼凑。
当那些碎片严丝合缝地填满了二十五个格子时，许广感觉自己的头皮都要炸开了。
“二十五！”
“勾方加股方，等于弦方！”
“但这只是特例……如果是五和七呢？”
许广重新画图，这次不再依赖格子，而是纯粹的几何推演。
他画了一个大正方形，然后在里面画了四个全等的直角三角形，围成了一个小正方形。
他开始计算面积。
大正方形的面积 = 弦的平方。
大正方形的面积 也等于 = 四个三角形的面积 + 中间小正方形的面积。
随着算式的一步步推导，那些繁杂的数字奇迹般地相互抵消，最后只剩下了那个最简洁、最优美、最震撼的等式：
勾² + 股² = 弦²
“找到了……”
许广瘫坐在地上，看着那张写满了墨迹的纸，泪流满面。
这不再是工匠的经验，这是真理。
这是放之四海而皆准，无论在王都还是在海城，无论在平原还是在高山，甚至在天上的星星之间，都永恒不变的真理！
……
三日后，大夏学宫·论道堂。
今日的论道堂，座无虚席。
不仅数学院的学子和博士全到了，就连工部尚书、祭司院的几位祭司，以及大夏学宫祭酒都亲自到场。
因为许广博士声称，他找到了丈量天地的尺子。
大堂中央，竖立着一块巨大的涂了黑漆的木板。
许广身穿整洁的博士服，手持白垩（粉笔），站在黑板前。
他的脸色有些苍白，那是几天几夜没合眼的后果，但他的眼睛亮得像两团火。
“诸位。”
许广的声音沙哑而坚定，“千百年来，我们一直在用‘数’来记录粮食，记录人口，记录税收。我们以为数只是工具。”
“但今天，我要告诉大家，数，是道。”
他转身，在黑板上画出了那个经典的弦图。
“这是什么？拼图游戏吗？”底下有年轻的学子窃窃私语。
许广没有理会，他开始演示。
从最简单的勾三股四弦五，到复杂的通用证明。
他手中的白垩笔在黑板上飞舞，发出“哒哒哒”的脆响。
当他最后写下“勾方之积，加股方之积，必等于弦方之积”的结论时，台下依然是一片死寂。
很多人没听懂。
“许博士。”
工部尚书站了起来，眉头微皱，“你的推演很精彩。但我想问，这东西有什么用？能帮我多修一里路吗？能帮我多炼一斤铁吗？”
这是一个极其现实的问题。大夏的学风虽然开放，但依然讲究经世致用。
许广看着工部尚书，笑了。
“尚书大人，您不是在为西部开山凿隧道的工程发愁吗？”
许广在黑板上画了一座山，“您想知道从山这边打洞，要打多远才能通到那边，对吗？”
“没错。但这山太高，没法直接量。”
“不用量。”
许广指着黑板，“只要我们在山脚下量出两个直角边，根据这个定理，我就能算出那条看不见的‘弦’有多长！分毫不差！”
工部尚书愣住了。
“还有。”
许广转向祭司院的祭司，“你们观星台在推演星辰轨迹时，是不是经常因为无法测量星星之间、星星与地面的距离而苦恼？”
“只要有了这个定理，天地皆可量！”
许广的声音拔高，“只要给我三个点，我就能算出它们之间的距离！不管是高山深谷，还是日月星辰！”
“这，就是它的用处！”
轰——！
台下爆发出了雷鸣般的掌声。
那些原本听得云里雾里的学子们，此刻终于明白了这项发现的伟大之处。
它打破了感官的限制，让人类可以用智慧去触碰那些手够不到的地方。
“神乎其技……神乎其技啊！”
大夏学宫祭酒颤巍巍地站起来，走到许广面前，深深一揖。
“许博士，此定理一出，我大夏之算学，将不再是简单的记账之术，而是通天之梯！”
“此图，当刻于石碑，立于学宫正门，供万世瞻仰！”
……
【神谕纪元·二七〇〇年（秋）】
大夏学宫正门。
一块崭新的石碑刚刚落成。
石碑上，没有刻复杂的文字，也没有刻圣人的语录。
上面只刻着一副图案——“许广弦图”，以及那个简洁到极致的公式。
每天，都有无数的学子经过这里。
他们会停下脚步，抬头仰望这块石碑。
他们或许还不知道，这块石碑的竖立，标志着大夏文明正式跨越了从经验科学到理论科学的门槛。
从此以后，大夏的工匠不再只凭感觉造桥，而是开始计算应力。
大夏的祭司不再只凭肉眼观星，而是开始计算轨道。
在许广的书房里，这位完成了历史使命的老人，再次铺开了一张白纸。
他的目光不再局限于直角三角形。
“既然直角三角形有这样的规律……”
许广看着窗外的圆形拱门。
“那圆呢？圆的周长与直径，是否也有一个永恒不变的理？那个周算先贤留下的圆周率，还能不能算得更准一点？”
他重新拿起了笔。
在这个知识爆发的年代，真理的大门一旦被推开，就再也关不上了。
无数像许广一样的求道者，正举着火把，冲进未知的黑暗，试图照亮这个世界的每一个角落。
（注：勾：短直角边。股：长直角边。弦：斜边。）
（出入相补：一个平面图形被分割成若干部分后，将这些部分重新组合拼接成另一个图形，只要分割后的各部分“出”和“入”的面积完全相等，那么新图形与原图形的总面积就保持不变。）
（出入相补是中国古代数学独创的、基于图形切割与重组的几何原理。）
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大夏王都，春雨绵绵。
细密的雨丝如同天地间垂下的珠帘，笼罩着这座拥有数千年历史的庞大都城。
经过数百年的扩建与修缮，王都早已不是当年的模样。
青砖铺就的朱雀大街宽阔平整，两侧的排水渠设计精妙，即便是在这连绵的春雨中，路面也鲜有积水。
而在城市的东侧，那片占地极广、古木参天的建筑群，便是大夏文明的心脏大夏学宫总院。
这里没有市井的喧嚣，只有悠扬的钟声和朗朗的读书声。
【大夏学宫·数学院（原算学科）】
在一间堆满了算筹、图纸和木质模型的静室内，一位须发花白的老者正跪坐在案几前，眉头紧锁，仿佛遇到了一生中最大的难题。
他叫许广，大夏学宫数学院的首席博士。
在他面前的案几上，摆放着一张巨大的宣纸，上面画满了各种各样的三角形、方块和圆圈。
墨迹未干，显然他已经在这里推演了很久。
“不对……还是不对。”
许广喃喃自语，手中的毛笔悬在半空，迟迟无法落下，“勾三股四弦五，这是老祖宗传下来的规矩。可是……如果勾是五，股是七呢？弦又该是多少？”
这是困扰了大夏工匠千年的问题。
自古以来，大夏的工匠在建造房屋、丈量土地时，都知道一个经验法则。
如果把直角三角形的两条直角边分别做成三尺和四尺，那么斜边一定是五尺。
但这只是一个特例。
最近，工部那边遇到了大麻烦。
夏王下令在西部的山区开凿一条新的隧道，需要精确计算山体的斜度与长度。
工匠们发现，当直角边的长度变化时，他们根本无法算出斜边的确切数值，只能靠拉绳子硬量。
误差极大。
“数之法，当通于万物，岂能只有特例？”
许广扔下毛笔，有些烦躁地站起身。
他走到窗边，推开窗棂，任由湿润的凉风吹在脸上。
窗外，是数学院的回廊。
地面上铺着整齐的方形青砖，雨水打在砖面上，泛起一层水光。
许广的目光无意识地落在那地面的方砖上。
那些青砖是交错铺设的，每一块都是标准的正方形。
而在回廊的转角处，为了美观，工匠将青砖斜着切开，拼成了一个个三角形的图案。
忽然。
一道闪电划破长空，也仿佛劈开了许广脑海中的迷雾。
他的目光死死地盯着地面上一块被斜切的青砖。
“方砖……斜切……”
“如果以斜边为边长，画一个正方形……”
许广猛地转身，像个疯子一样冲回案几旁。
他一把扫开桌上凌乱的算筹，铺开一张崭新的白纸。
他没有画三角形，而是先画了一个方格网。
“假设……每一个方格代表一尺。”
他在纸上画了一个直角三角形，勾长为3格，股长为4格。
然后，他分别以这三条边为边长，向外画出了三个正方形。
勾上的正方形，面积是3乘3，九个格子。
股上的正方形，面积是4乘4，十六个格子。
“九加十六……二十五。”
许广的手有些颤抖。
他看向那个以斜边为边长的倾斜正方形。
因为是斜着的，很难直接数格子。
“割补！移形换位！”
许广拿起剪刀，将纸上的图形剪了下来。
他利用出入相补的原理，将那个倾斜的大正方形拆分成几个小三角形和矩形，然后重新拼凑。
当那些碎片严丝合缝地填满了二十五个格子时，许广感觉自己的头皮都要炸开了。
“二十五！”
“勾方加股方，等于弦方！”
“但这只是特例……如果是五和七呢？”
许广重新画图，这次不再依赖格子，而是纯粹的几何推演。
他画了一个大正方形，然后在里面画了四个全等的直角三角形，围成了一个小正方形。
他开始计算面积。
大正方形的面积 = 弦的平方。
大正方形的面积 也等于 = 四个三角形的面积 + 中间小正方形的面积。
随着算式的一步步推导，那些繁杂的数字奇迹般地相互抵消，最后只剩下了那个最简洁、最优美、最震撼的等式：
勾² + 股² = 弦²
“找到了……”
许广瘫坐在地上，看着那张写满了墨迹的纸，泪流满面。
这不再是工匠的经验，这是真理。
这是放之四海而皆准，无论在王都还是在海城，无论在平原还是在高山，甚至在天上的星星之间，都永恒不变的真理！
……
三日后，大夏学宫·论道堂。
今日的论道堂，座无虚席。
不仅数学院的学子和博士全到了，就连工部尚书、祭司院的几位祭司，以及大夏学宫祭酒都亲自到场。
因为许广博士声称，他找到了丈量天地的尺子。
大堂中央，竖立着一块巨大的涂了黑漆的木板。
许广身穿整洁的博士服，手持白垩（粉笔），站在黑板前。
他的脸色有些苍白，那是几天几夜没合眼的后果，但他的眼睛亮得像两团火。
“诸位。”
许广的声音沙哑而坚定，“千百年来，我们一直在用‘数’来记录粮食，记录人口，记录税收。我们以为数只是工具。”
“但今天，我要告诉大家，数，是道。”
他转身，在黑板上画出了那个经典的弦图。
“这是什么？拼图游戏吗？”底下有年轻的学子窃窃私语。
许广没有理会，他开始演示。
从最简单的勾三股四弦五，到复杂的通用证明。
他手中的白垩笔在黑板上飞舞，发出“哒哒哒”的脆响。
当他最后写下“勾方之积，加股方之积，必等于弦方之积”的结论时，台下依然是一片死寂。
很多人没听懂。
“许博士。”
工部尚书站了起来，眉头微皱，“你的推演很精彩。但我想问，这东西有什么用？能帮我多修一里路吗？能帮我多炼一斤铁吗？”
这是一个极其现实的问题。大夏的学风虽然开放，但依然讲究经世致用。
许广看着工部尚书，笑了。
“尚书大人，您不是在为西部开山凿隧道的工程发愁吗？”
许广在黑板上画了一座山，“您想知道从山这边打洞，要打多远才能通到那边，对吗？”
“没错。但这山太高，没法直接量。”
“不用量。”
许广指着黑板，“只要我们在山脚下量出两个直角边，根据这个定理，我就能算出那条看不见的‘弦’有多长！分毫不差！”
工部尚书愣住了。
“还有。”
许广转向祭司院的祭司，“你们观星台在推演星辰轨迹时，是不是经常因为无法测量星星之间、星星与地面的距离而苦恼？”
“只要有了这个定理，天地皆可量！”
许广的声音拔高，“只要给我三个点，我就能算出它们之间的距离！不管是高山深谷，还是日月星辰！”
“这，就是它的用处！”
轰——！
台下爆发出了雷鸣般的掌声。
那些原本听得云里雾里的学子们，此刻终于明白了这项发现的伟大之处。
它打破了感官的限制，让人类可以用智慧去触碰那些手够不到的地方。
“神乎其技……神乎其技啊！”
大夏学宫祭酒颤巍巍地站起来，走到许广面前，深深一揖。
“许博士，此定理一出，我大夏之算学，将不再是简单的记账之术，而是通天之梯！”
“此图，当刻于石碑，立于学宫正门，供万世瞻仰！”
……
【神谕纪元·二七〇〇年（秋）】
大夏学宫正门。
一块崭新的石碑刚刚落成。
石碑上，没有刻复杂的文字，也没有刻圣人的语录。
上面只刻着一副图案——“许广弦图”，以及那个简洁到极致的公式。
每天，都有无数的学子经过这里。
他们会停下脚步，抬头仰望这块石碑。
他们或许还不知道，这块石碑的竖立，标志着大夏文明正式跨越了从经验科学到理论科学的门槛。
从此以后，大夏的工匠不再只凭感觉造桥，而是开始计算应力。
大夏的祭司不再只凭肉眼观星，而是开始计算轨道。
在许广的书房里，这位完成了历史使命的老人，再次铺开了一张白纸。
他的目光不再局限于直角三角形。
“既然直角三角形有这样的规律……”
许广看着窗外的圆形拱门。
“那圆呢？圆的周长与直径，是否也有一个永恒不变的理？那个周算先贤留下的圆周率，还能不能算得更准一点？”
他重新拿起了笔。
在这个知识爆发的年代，真理的大门一旦被推开，就再也关不上了。
无数像许广一样的求道者，正举着火把，冲进未知的黑暗，试图照亮这个世界的每一个角落。
（注：勾：短直角边。股：长直角边。弦：斜边。）
（出入相补：一个平面图形被分割成若干部分后，将这些部分重新组合拼接成另一个图形，只要分割后的各部分“出”和“入”的面积完全相等，那么新图形与原图形的总面积就保持不变。）
（出入相补是中国古代数学独创的、基于图形切割与重组的几何原理。）
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